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方法一：现有有啤酒空瓶14个，每3个空瓶可以换1瓶酒，则首先可以换14÷3=4瓶酒余2空瓶，4瓶酒又产生4个空瓶，则共剩下4+2=6个空瓶，还可以再换6÷3=2瓶酒，这2瓶酒又可以产生2个空瓶，但无法直接换酒，这时我们可以考虑先借1个空瓶，换完酒后再将空瓶返还，所以共计喝酒4+2+1=7瓶酒。

如果将瓶与酒分离该怎么做：

方法二：3个空瓶可换1瓶啤酒，我们需要喝到的是其中的酒，所以将瓶与酒分离。构成等式：3空瓶=1瓶酒，也就是3空瓶=1空瓶+1酒，整理一下，2空瓶=1酒，所以两个空瓶就可以喝到1酒而不产生额外的空瓶，所以共可以喝酒14÷2=7瓶酒，所以选择C选项。

那么大家之后再做类似问题的时候，就可以利用第二种思路去做。

我们将其整理成公式，可免费换到的酒=M/(N-1)。

【例2】某商店规定每4个空啤酒瓶可以换1瓶啤酒，小明家买了24瓶啤酒，小明家前后最多能喝到多少瓶啤酒?( )

A.30 B.31 C.32 D.33

【解析】答案：C。24瓶啤酒喝完后可得空瓶24瓶，所以通过4个空瓶换一瓶啤酒可以喝到免费啤酒24÷(4-1)=8，所以共可以喝到24+8=32瓶啤酒。

（2）空瓶换水问题的变形问题

【例题3】5个汽水空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少需要买汽水多少瓶?( )

A.129 B.128 C.127 D.126

【解析】答案：A。共喝到打的汽水161瓶，其中包括自己买的以及汽水空瓶换的，通过“瓶”，“水”分离我们可以得知5空瓶=1瓶汽水，也就是5空瓶=1空瓶+1汽水，整理可以得到4空瓶=1汽水。设自己买的汽水为x，可以得到x+x/4=161，x=128.8，我们知道买的汽水需要是整数瓶，所以至少需要买129瓶汽水。

二、排列还是组合，你分的清吗？

【例1】某公司有A、B两个部门，各部门均有8名员工。公司决定派遣A部门中的两名员工去参加培训，共有( )种不同的派遣方式。

A.28 B.42 C.56 D.63

【详解】答案：A。对于这个问题我们应该用排列数还是组合数计算呢?判定的方法就是：改变元素的选取顺序，看对结果是否产生影响。如果有影响就应该用排列数，反之无影响，则用组合数计算。

第一问中要从A部门的8名员工里选择2名去总部。假如我们选取的两个人是甲和乙，此时我们会发现，改变选取的顺序：无论是先选甲后选乙，还是先选乙后选甲，最后都是甲和乙两人参训，改变顺序对结果并未产生影响，所以应该采用组合数运算，共有种派遣方式，故选A。

【例2】某公司有A、B两个部门，各部门均有8名员工。公司打算从B部门中选择两位员工分别担任部长和副部长，共有( )种不同的选择方式。

A.28 B. 42 C. 56 D. 63

【详解】答案：C。这道题公司要从B部门的8名员工里选择2名分别担任正副部长。假如我们选取的两个人是丙和丁，此时我们会发现，改变选取的顺序：先选丙担任部长后选丁担任副部长，以及先选丁担任部长后选丙担任副部长，丙和丁的职位发生了变化，产生了不同的结果。即改变顺序对结果并产生了影响，根据上题所讲的判定方法，应该采用排列数运算，共有种派遣方式，故选C。

三、多者合作怎么办，特值大法来帮忙

方法一：已知多个主体完工时间，一般将工作量设为1或多个完工时间的公倍数。

【例1】有两箱数量相同的文件需要整理，小张单独整理好一箱文件要用4.5小时，小钱要用9小时，小周要用3小时。小周和小张一起整理第一箱文件，小钱同时开始整理第二箱文件。一段时间后，小周又转去和小钱一起整理第二箱文件，最后两箱文件同时整理完毕，则小周和小张、小钱一起整理文件的时间分别是？( )

A.1小时，2小时 B.1.5小时，1.5小时 C.2小时，1小时 D.1.2小时，1.8小时

【解析】答案：A。设每箱文件的工作量是45，则总的工作量是45×2=90，小张、小钱、小周每小时分别整理10、5、15。由90÷(10+5+15)=3，即3小时后同时完成工作。第一箱文件，小张整理了10×3=30，则小周整理了45-30=15，整理了15÷15=1小时，故本题选A。

方法二：已知多个主体效率关系时，一般根据效率关系将效率最简比设为份数。

【例2】甲、乙两台洒水车合作给一片花园洒水，7小时可以完成。两洒水车共同合作5小时后，甲队所有队员及乙队人数的调走去洒其他花园，又经过6小时，全部洒完，甲队单独给这片花园洒水需要( )小时。

A.12 B.15 C.10 D.20

【解析】答案:A。根据题意可得，甲、乙合作2小时的工作量和乙的人数工作6小时的工作量相等，即=乙×6，化简可得甲、乙效率比为7：5。设甲的效率为7，乙的效率为5，甲队单独给这片花园洒水需要7×。故选A。

四、巧解年龄差不等的年龄问题

如果年龄差不相等，考虑有人未出生

【例1】在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁。家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子，父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁。四年前家庭所有人的年龄总和是58岁，现在儿子多少岁?( )

A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】答案：A。四个人经过4年年龄和应该增加4×4=16岁，但是实际为73-58=15岁，年龄差不相等，说明4年前儿子还没出生，实际年龄差小1岁，说明现在儿子应该为4-1=3岁，故本题答案为A。

【例2】小强的爸爸比小强的妈妈大3岁，全家三口的年龄总和是74岁，9年前这家人年龄总和是49岁，那么小强的妈妈今年多少岁?( )

A.32 B.33 C.34 D.35

【解析】答案：A。经过9年三人的年龄之和应该增加9×3=27岁，但是实际是74-49=25岁，年龄差不相等，说明9年前小强还未出生，实际年龄差小2岁，说明小强现在应该是9-2=7岁，则今年爸爸、妈妈年龄之和是74-7=67岁，爸爸比妈妈大3岁，则妈妈年龄是(67-3)÷2=32岁，故本题答案为A。

【例3】一个三口之家，爸爸比妈妈大3岁，现在他们一家人的年龄之和是80岁，10年前全家人的年龄之和是51岁，则女儿今年多少岁?( )

A.7 B.8 C.9 D.10

【解析】答案:C。经过10年一家三口的年龄之和应该增加3×10=30岁，但是实际是80-51=29岁，年龄差不相等，说明女儿10年前没有出生，实际年龄差小1岁，说明女儿现在应该是10-1=9岁，故本题答案为C。

五、数量关系之青蛙跳井问题

一、基本模型

【例1】现有一口深10米的井，有一只青蛙在井底，青蛙每次往上跳的高度为5米，由于井壁比较光滑，青蛙跳一次就会往下滑3米，问这只青蛙经过几次才能跳出这口井?( )

A.3 B.4次 C.5次 D.6次

【解析】答案：C。阅读题干，若青蛙往上跳5米为正，则往下滑3米为负，一正一负的交替上升。将一正一负作为一个周期，则一个周期内升5 (-3)=2米。一个周期内上跳1次，有的同学认为10÷2=5，即跳5次就可以出井，事实上这是不对的。我们可以确定的是，青蛙是在上跳的过程中出井，而不是在下滑的过程中。那么我们就要在井口预留一个一下能跳出的距离(5米，即周期峰值)，当青蛙跳到离井口5米之内，再跳一次就可以跳出井。总高度是10米，一个周期前进2米，(10-5)÷2=2.5，两个周期不能满足，即需要三个周期跳到离井口5米范围内，一个周期需要跳一次，三个周期即跳三次，此时青蛙再上跳一次即可跳出井口，即一共需要3+1=4次跳出井口。

总结一下解题方法：

1.找周期：周期值和周期峰值

2.计算周期数

3.计算总次数。总次数=周期所用次数周期峰值所用次数。

二、青蛙跳井的应用

【例1】甲乙两人计划从A地步行去B地，乙早上7：00出发，匀速步行前往，甲因事耽误，9：00才出发。为了追上乙，甲决定跑步前进，跑步的速度是乙步行的2.5倍，但是跑半小时都需要休息半小时，那么什么时候才能追上乙?( )

A.10：20 B.12：10 C.14：30 D.16：10

【解析】答案：C。阅读题干，结合2.5倍关系，设乙的速度为2，则甲的速度为5。乙出发2小时后，甲才出发，此时两人相距4，甲比乙多跑4就能追上乙。甲每跑半小时都需要休息半小时，则前半小时，甲比乙多跑(5-2)×0.5=1.5，后半小时，甲比乙多跑(0-2)×0.5=-1。

(1)找周期：一个周期1个小时，一个周期时间内甲追乙距离：1.5-1=0.5，即周期值为0.5;周期峰值为1.5;

(2)计算周期数：(4-1.5)÷0.5=5，即5个周期;

(3)计算总时间。经过5个周期后还差1.5就可以追上，此时再经过半小时即可追上，总时间为5+0.5=5.5小时。所以9:00再过5.5小时就可以追上，即14:30追上。

六、如何学习数字推理

(一) 数字敏感

所谓数字敏感指的是我们见到数字后的发散性思维。当我们看到一个数时，能够下意识的联想到一些特殊数或者找到数本身的属性或者是其他的表达形式。对与特殊数字临近的数字要产生联想，比如看到数字7,7可以联想成：7=23-1=32-2.要想真正地培养出对数字的敏感度，还是在于我们平时对于一些特殊数字的积累。主要是一些多次方数：

(1)1～21的二次方

11=121 12=144 13=169 14=196 15=225

16=256 17=289 18=324 19=361 21=441

(2)1～11的三次方

2=8 3=27 4=64 5=125 6=216

7=343 8=512 9=729 10=1000 11=1331

(3)2的1～10次方

2=16 2=32 2=64 2=128 2=256

2=512 2=1024

(4)1～5的1至5次方

3=9 3=27 3=81 3=243

4=16 4=64 4=256 4=1024

5=25 5=125 5=625 5=3125

(二)数列敏感

所谓的数列敏感，指的是我们考试的时候，考题的题干往往是以一个不完整的数列给出的，所以这时候当我们看到一个数列时，我们要在脑海里快速地反映出常考的相关相近数列，这样能够帮助我们分析确定考查的是哪一类型数列或数列变式，从而根据我们给大家总结的数列规律来快速解题。数字推理主要考查的数列类型有：等差数列、和数列、倍数数列、乘积数列、多次方数列、分式数列、组合数列等。

1.等差数列

等差数列题型特征：数列一般单调递增，相邻两数字变化不大(相差1-3倍)，常常给出5个及以上数。

等差数列解题方法：逐差法(一次或多次)。

【例1】2,6，12，20，30,( )

【解析】先观察，由于给出的数列相邻数字之间变化幅度不大且呈现出单调性，因此我们考虑是否考查的是等差数列，接下来我们就去逐差，经过一次逐差后，我们发现新形成的数列为4,6,8,10，(12)是一个偶数列，因此此题的答案为30+12=(42)。

2.和数列

和数列题型特征：数列一般前几个数为小数字且相邻数字之间变化幅度不大。

和数列解题方法：相邻两项或三项相加得到后项找出规律。

【例2】-1,2,0,4,4，（）

【解析】先观察，相邻数字之间变化幅度不大，可以优先考虑逐差或加和，我们经过试错会发现，这个题目考的是和数列，将相邻两项相加可以得到一个新数列：1,2,4,8(16)，是一个公比为2的等比数列。因此括号里应该填16-4=(12)。

3.倍数数列

倍数数列题型特征：大部分呈单调，变化幅度稍大。

倍数数列解题方法：先看大数规律。

【例3】2,14,84,420,1680，( )

【解析】先观察，我们会发现整体变化幅度还是比较大的，所以这种情况下我们一般不考虑逐差或加和，我们会发现1680和前面的420刚好是4倍的关系，往前再推，420与84是5倍的关系，因此此题我们将相邻两项用后一项除以前一项，可以得到一个新数列：7,6,5,4，(3)，这是一个首项为7，公差等于-1的等差数列，因此括号里应填的是1680×3=(5040)。

4.乘积数列

乘积数列题型特征：大部分呈单调，变化幅度较大。

乘积数列解题方法：将相邻两项或三项乘积之后再找规律。

【例4】4,3,10,27,265，( )

【解析】先观察，我们会发现此题既不是考查等差数列、和数列，也不是倍数数列，我们通过观察会发现10,27,265这三个数存在10×27-5=265这样的一个乘积关系，往前推，3,10,27这三个数存在3×10-3=27，依次往前推，我们会发现此题的规律是从第三项开始，每一项=前面两项之积-质数列。因此括号里要填的是27×265-7=(7148)。